Méthode de Bessel

La méthode de Bessel est une méthode focométrique de détermination expérimentale de la focale d'une lentille convergente.

Principe

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F'et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A', (c'est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f'par la formule :

$f'=\frac{Dˆ2-dˆ2}{4Ð$

Schéma animé sur la méthode de Bessel

Formules de conjugaison

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A'comparé au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A'son image par la lentille :

$\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}=\frac{1}{f'}$

On suppose que A'est réelle (c'est-à-dire projetable sur un écran) : $<img class=$ .

Formation d'une image réelle à partir d'un objet réel

On fixe $D=\overline{AA'}$ , la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose $x=\overline{OA}$ et $y=\overline{OA'}$ , donc

$D=\overline{AA'}=\overline{OA'}-\overline{OA} \Rightarrow y=D+x$ .

Les relations de conjugaison se réécrivent :

$\frac{1}{y}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{x} \Rightarrow y=\frac{f'.x}{f'+x}$ .

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second ordre en x : $x 2 + D . x + f'. D = 0$

Cette équation n'a de solution réelle que si $\Delta = Dˆ2-4ð{'}ÐD.\left( D-4ð\right)\geq 0$

Aussi, il faut que $D\geq D_{min} = 4ð$

Positions respectives de l'image et de l'objet

Si $D > D m i n$ , alors $Δ > 0$ : il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer A et A').

Les solutions sont : $x_{\pm }=\frac{-D\pm \sqrt{Dˆ2-4ð{'}Ð}{2}$ . Aussi, ces deux positions envisageables de l'objet sont éloignées de $\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{Dˆ2-4ð{'}Ð$ .

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A' : $d=\left| x_{+ }-x_{-}\right|=\sqrt{Dˆ2-4ð{'}Ð$ .

En élevant au carré, on trouve la formule : $f'=\frac{Dˆ2-dˆ2}{4Ð$

Remarque

La méthode de Silbermann apparaît comme un cas spécifique de la méthode de Bessel, celui où la position de la lentille est unique (soit d=0).

Liens externes

Une vidéo explicative sur la méthode de Bessel

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